y = sin 8x

Для нахождения производной функции $$y = \sin 8x$$ мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть $$u = 8x$$. Тогда $$y = \sin u$$.

Производная от $$y$$ по $$u$$ равна: $$\frac{dy}{du} = \cos u$$.

Производная от $$u$$ по $$x$$ равна: $$\frac{du}{dx} = 8$$.

По правилу дифференцирования сложной функции, производная $$y$$ по $$x$$ равна произведению производной $$y$$ по $$u$$ и производной $$u$$ по $$x$$:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

Подставляем наши значения:

\[ \frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 8 \]

Теперь подставляем обратно $$u = 8x$$:

\[ \frac{dy}{dx} = 8 \cos 8x \]

Ответ: $$8 \cos 8x$$