Найдите производную функции: 1) y = x³ + 2x; 2) y = √(x - 5x²); 3) y = (1/x) - 8x; 4) y = 3tgx + 4x - 9; 5) y = 4x⁷ - 19x¹¹ + 1; 6) y = (x² + 9) * (x⁶ - 10); 7) y = (x³ + 3) * √x; 8) y = (x² + 1) * cosx; 9) y = (8 - (1/x)) * (5x + 4); 10) y = (3x - 7) / (4x + 5); 11) y = (8x) / (2x² - 3); 12) y = (sin x) / (2x);

Привет, ребята! Сегодня мы разберем, как находить производные различных функций. Ваша задача - понять каждый шаг, чтобы вы могли самостоятельно решать подобные задачи. Поехали! **1) y = x³ + 2x** Производная суммы равна сумме производных. Используем правило степени: производная xⁿ равна nxⁿ⁻¹. $$y' = (x³)' + (2x)' = 3x² + 2$$ **Ответ: y' = 3x² + 2** **2) y = √(x - 5x²)** Перепишем функцию как y = (x - 5x²)^(1/2). Используем правило цепочки: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x). $$y' = \frac{1}{2}(x - 5x²)^{-\frac{1}{2}} * (1 - 10x) = \frac{1 - 10x}{2\sqrt{x - 5x²}}$$ **Ответ: y' = (1 - 10x) / (2√(x - 5x²))** **3) y = (1/x) - 8x** Перепишем функцию как y = x⁻¹ - 8x. Используем правило степени. $$y' = -1 * x^{-2} - 8 = -\frac{1}{x²} - 8$$ **Ответ: y' = -1/x² - 8** **4) y = 3tgx + 4x - 9** Производная тангенса равна 1/cos²x, или sec²x. $$y' = 3 * \frac{1}{cos²x} + 4 = \frac{3}{cos²x} + 4$$ **Ответ: y' = 3/cos²x + 4** **5) y = 4x⁷ - 19x¹¹ + 1** Используем правило степени. $$y' = 4 * 7x⁶ - 19 * 11x¹⁰ = 28x⁶ - 209x¹⁰$$ **Ответ: y' = 28x⁶ - 209x¹⁰** **6) y = (x² + 9) * (x⁶ - 10)** Используем правило произведения: (uv)' = u'v + uv'. $$y' = (2x) * (x⁶ - 10) + (x² + 9) * (6x⁵) = 2x⁷ - 20x + 6x⁷ + 54x⁵ = 8x⁷ + 54x⁵ - 20x$$ **Ответ: y' = 8x⁷ + 54x⁵ - 20x** **7) y = (x³ + 3) * √x** Перепишем как y = (x³ + 3) * x^(1/2). Используем правило произведения. $$y' = (3x²) * x^{\frac{1}{2}} + (x³ + 3) * (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}) = 3x^{\frac{5}{2}} + \frac{x³}{2\sqrt{x}} + \frac{3}{2\sqrt{x}} = 3x^{\frac{5}{2}} + \frac{x^{5/2}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{x}} = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$$ **Ответ: y' = (7/2)x^(5/2) + 3/(2√x)** **8) y = (x² + 1) * cosx** Используем правило произведения. Производная cosx равна -sinx. $$y' = (2x) * cosx + (x² + 1) * (-sinx) = 2xcosx - x²sinx - sinx$$ **Ответ: y' = 2xcosx - x²sinx - sinx** **9) y = (8 - (1/x)) * (5x + 4)** Перепишем как y = (8 - x⁻¹) * (5x + 4). Используем правило произведения. $$y' = (x^{-2}) * (5x + 4) + (8 - x^{-1}) * (5) = \frac{5x + 4}{x²} + 40 - \frac{5}{x} = \frac{5x + 4}{x²} + \frac{40x² - 5x}{x²} = \frac{40x² + 4}{x²} = 40 + \frac{4}{x²}$$ **Ответ: y' = 40 + 4/x²** **10) y = (3x - 7) / (4x + 5)** Используем правило частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v². $$y' = \frac{(3) * (4x + 5) - (3x - 7) * (4)}{(4x + 5)²} = \frac{12x + 15 - 12x + 28}{(4x + 5)²} = \frac{43}{(4x + 5)²}$$ **Ответ: y' = 43 / (4x + 5)²** **11) y = (8x) / (2x² - 3)** Используем правило частного. $$y' = \frac{(8) * (2x² - 3) - (8x) * (4x)}{(2x² - 3)²} = \frac{16x² - 24 - 32x²}{(2x² - 3)²} = \frac{-16x² - 24}{(2x² - 3)²} = -\frac{8(2x² + 3)}{(2x² - 3)²}$$ **Ответ: y' = -8(2x² + 3) / (2x² - 3)²** **12) y = (sin x) / (2x)** Используем правило частного. Производная sinx равна cosx. $$y' = \frac{(cosx) * (2x) - (sin x) * (2)}{(2x)²} = \frac{2xcosx - 2sin x}{4x²} = \frac{xcosx - sin x}{2x²}$$ **Ответ: y' = (xcosx - sin x) / (2x²)**