6. Найдите промежутки монотонности функции f(x)=+x²-8x-15

Ответ: Функция возрастает на \((-\infty; -4)\) и \((2; +\infty)\); убывает на \((-4; 2)\)

Разбираемся:

Шаг 1: Находим производную функции \(f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x - 15\).

\[f'(x) = x^2 + 2x - 8\]

Шаг 2: Находим нули производной, приравняв ее к нулю.

\[x^2 + 2x - 8 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\] \[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4\]

Шаг 3: Определяем знаки производной на интервалах, образованных нулями.

• Интервал \((-\infty; -4)\): выберем x = -5; f'(-5) = (-5)² + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 (функция возрастает)
• Интервал \((-4; 2)\): выберем x = 0; f'(0) = 0² + 2(0) - 8 = -8 < 0 (функция убывает)
• Интервал \((2; +\infty)\): выберем x = 3; f'(3) = 3² + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 (функция возрастает)

Шаг 4: Формулируем выводы о монотонности.

Функция возрастает на \((-\infty; -4)\) и \((2; +\infty)\); убывает на \((-4; 2)\).

Ответ: Функция возрастает на \((-\infty; -4)\) и \((2; +\infty)\); убывает на \((-4; 2)\)