Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) $$f(x) = 12x - x^3$$ Б) $$f(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3$$

Давай решим эту задачу. Нам нужно найти промежутки возрастания и убывания для каждой из функций. Для этого нам понадобится найти производную функции и определить, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает). а) $$f(x) = 12x - x^3$$ 1. Находим производную функции $$f(x)$$. $$f'(x) = 12 - 3x^2$$ 2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки. $$12 - 3x^2 = 0$$ $$3x^2 = 12$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ 3. Определяем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками. Рассмотрим координатную прямую с отмеченными точками -2 и 2: ----(-2)----(2)----> * При $$x < -2$$, например, при $$x = -3$$, $$f'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$$. Значит, на интервале $$(-\infty, -2)$$ функция убывает. * При $$-2 < x < 2$$, например, при $$x = 0$$, $$f'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0$$. Значит, на интервале $$(-2, 2)$$ функция возрастает. * При $$x > 2$$, например, при $$x = 3$$, $$f'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$$. Значит, на интервале $$(2, +\infty)$$ функция убывает. 4. Записываем промежутки возрастания и убывания. * Функция возрастает на интервале $$(-2, 2)$$. * Функция убывает на интервалах $$(-\infty, -2)$$ и $$(2, +\infty)$$. б) $$f(x) = 3 + 24x - 3x^2 - x^3$$ 1. Находим производную функции $$f(x)$$. $$f'(x) = 24 - 6x - 3x^2$$ 2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки. $$24 - 6x - 3x^2 = 0$$ Разделим обе части уравнения на -3: $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. $$D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$ 3. Определяем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками. Рассмотрим координатную прямую с отмеченными точками -4 и 2: ----(-4)----(2)----> * При $$x < -4$$, например, при $$x = -5$$, $$f'(-5) = 24 - 6(-5) - 3(-5)^2 = 24 + 30 - 75 = -21 < 0$$. Значит, на интервале $$(-\infty, -4)$$ функция убывает. * При $$-4 < x < 2$$, например, при $$x = 0$$, $$f'(0) = 24 - 6(0) - 3(0)^2 = 24 > 0$$. Значит, на интервале $$(-4, 2)$$ функция возрастает. * При $$x > 2$$, например, при $$x = 3$$, $$f'(3) = 24 - 6(3) - 3(3)^2 = 24 - 18 - 27 = -21 < 0$$. Значит, на интервале $$(2, +\infty)$$ функция убывает. 4. Записываем промежутки возрастания и убывания. * Функция возрастает на интервале $$(-4, 2)$$. * Функция убывает на интервалах $$(-\infty, -4)$$ и $$(2, +\infty)$$. Ответ: а) Функция возрастает на интервале $$(-2, 2)$$. Функция убывает на интервалах $$(-\infty, -2)$$ и $$(2, +\infty)$$. б) Функция возрастает на интервале $$(-4, 2)$$. Функция убывает на интервалах $$(-\infty, -4)$$ и $$(2, +\infty)$$.