Найдите промежутки возрастания и убывания функции: $$y = 1 + 3x - x^3$$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, необходимо найти первую производную и определить её знаки.

1. Находим первую производную функции:

   $$y' = (1 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2$$

2. Приравниваем первую производную к нулю и находим критические точки:

   $$3 - 3x^2 = 0$$ $$3x^2 = 3$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

   Итак, критические точки: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = 1$$.

3. Определяем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

   Интервалы: $$(-\infty; -1)$$, $$(-1; 1)$$, $$(1; +\infty)$$.

   • На интервале $$(-\infty; -1)$$ возьмем $$x = -2$$:

     $$y'(-2) = 3 - 3(-2)^2 = 3 - 12 = -9 < 0$$, функция убывает.

   • На интервале $$(-1; 1)$$ возьмем $$x = 0$$:

     $$y'(0) = 3 - 3(0)^2 = 3 > 0$$, функция возрастает.

   • На интервале $$(1; +\infty)$$ возьмем $$x = 2$$:

     $$y'(2) = 3 - 3(2)^2 = 3 - 12 = -9 < 0$$, функция убывает.

4. Определяем промежутки возрастания и убывания:

   • Функция возрастает на интервале $$(-1; 1)$$.
   • Функция убывает на интервалах $$(-\infty; -1)$$ и $$(1; +\infty)$$.