Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции: 1) $$f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 12x + 7$$ 2) $$f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x+1}$$

Решение:

1. Для функции $$f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 12x + 7$$:

Найдем производную функции:

$$f'(x) = 6x^2 - 18x - 12$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$6x^2 - 18x - 12 = 0$$ $$x^2 - 3x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

Получим две критические точки:

$$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0.56, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56$$

Определим знаки производной на интервалах:

• $$(-\infty; \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$$ - функция возрастает ($$f'(x) > 0$$)
• $$(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$$ - функция убывает ($$f'(x) < 0$$)
• $$(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$$ - функция возрастает ($$f'(x) > 0$$)

Точка максимума: $$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$$

Точка минимума: $$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$$

2. Для функции $$f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x+1}$$:

Найдем производную функции, используя правило частного:

$$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x+1) - (x^2 - 3x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 - x - 3 - x^2 + 3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2}$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки (учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю):

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$ $$(x+3)(x-1) = 0$$

Получим две критические точки:

$$x_1 = -3, \quad x_2 = 1$$

Также, нужно учесть точку, где функция не определена: $$x = -1$$

Определим знаки производной на интервалах:

• $$(-\infty; -3)$$ - функция возрастает ($$f'(x) > 0$$)
• $$(-3; -1)$$ - функция убывает ($$f'(x) < 0$$)
• $$(-1; 1)$$ - функция убывает ($$f'(x) < 0$$)
• $$(1; +\infty)$$ - функция возрастает ($$f'(x) > 0$$)

Точка максимума: $$x = -3$$

Точка минимума: $$x = 1$$