Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами BC и AC, если угол A равен 60 градусам и AC равен 6.

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств прямоугольного треугольника и формулы для радиуса вписанной окружности.

Пусть (r) - радиус вписанной окружности.

Так как треугольник прямоугольный, и угол A равен 60 градусам, то угол B равен 30 градусам. Зная, что сторона (AC = 6), мы можем найти сторону (BC), используя тангенс угла A:

$$ tg(A) = \frac{BC}{AC} $$ $$ tg(60°) = \frac{BC}{6} $$ $$ BC = 6 \cdot tg(60°) $$

Так как (tg(60°) = \sqrt{3}), то:

$$ BC = 6\sqrt{3} $$

Теперь найдем гипотенузу (AB), используя косинус угла A:

$$ cos(A) = \frac{AC}{AB} $$ $$ cos(60°) = \frac{6}{AB} $$ $$ AB = \frac{6}{cos(60°)} $$

Так как (cos(60°) = \frac{1}{2}), то:

$$ AB = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12 $$

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле:

$$ r = \frac{AC + BC - AB}{2} $$

Подставляем известные значения:

$$ r = \frac{6 + 6\sqrt{3} - 12}{2} $$ $$ r = \frac{6\sqrt{3} - 6}{2} $$ $$ r = 3\sqrt{3} - 3 $$ $$ r = 3(\sqrt{3} - 1) $$

Ответ: Радиус вписанной окружности равен (3(\sqrt{3} - 1)).