Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

Дано:

Треугольник ABC, \( a = 7 \text{ см} \), \( b = 15 \text{ см} \), \( c = 20 \text{ см} \).

Найти:

\( r \) — радиус вписанной окружности.

Решение:

1. Найдем полупериметр треугольника: \( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21 \text{ см} \).
2. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \).
3. \( S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 \text{ см}^2 \).
4. Найдем радиус вписанной окружности по формуле: \( S = pr \), откуда \( r = \frac{S}{p} \).
5. \( r = \frac{42}{21} = 2 \text{ см} \).

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.