Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.

Дано:

Треугольник ABC, \( a = x \text{ см} \), \( b = x+2 \text{ см} \), \( \gamma = 120^{\circ} \), \( c = 7 \text{ см} \).

Найти:

Периметр \( P \).

Решение:

1. Найдем неизвестные стороны \( a \) и \( b \) по теореме косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \).
2. Подставим значения: \( 7^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2x(x+2) \cos 120^{\circ} \).
3. \( 49 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) - 2x(x+2) \cdot (-\frac{1}{2}) \)
4. \( 49 = x^2 + x^2 + 4x + 4 + x(x+2) \)
5. \( 49 = 2x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x \)
6. \( 49 = 3x^2 + 6x + 4 \)
7. \( 3x^2 + 6x + 4 - 49 = 0 \)
8. \( 3x^2 + 6x - 45 = 0 \)
9. Разделим на 3: \( x^2 + 2x - 15 = 0 \).
10. Найдем корни квадратного уравнения: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \). \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2} \).
11. \( x_1 = \frac{-2+8}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-2-8}{2} = -5 \).
12. Так как сторона не может быть отрицательной, \( x = 3 \text{ см} \).
13. Тогда \( a = 3 \text{ см} \), \( b = 3+2 = 5 \text{ см} \).
14. Периметр треугольника: \( P = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15 \text{ см} \).

Ответ: периметр треугольника равен 15 см.