Найдите ранг матрицы: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Для нахождения ранга матрицы, нужно привести её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатом виде. Исходная матрица: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 1. Поменяем местами первую и третью строки: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 2. Умножим четвертую строку на 2 и прибавим к первой строке: $$\begin{pmatrix} 0 & 5 & -2 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 3. Поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы получить ненулевой элемент в начале первой строки: $$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & -2 & -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 4. Вычтем вторую строку из третьей строки: $$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -2 & -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 5. Вычтем вторую строку, умноженную на 5, из четвертой строки: $$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -17 & -12 & -11 & -6 \end{pmatrix}$$ 6. Умножим третью строку на -17/3 и вычтем из четвертой строки: $$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -12 - (2*(-17/3)) & -11 - (1*(-17/3)) & -6 \end{pmatrix} $$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2/3 & -16/3 & -6 \end{pmatrix}$$ Все четыре строки ненулевые. Таким образом, ранг матрицы равен 4. Ответ: 4