Найдите sin 2а, если cos a = sqrt(7)/sqrt(8), α ∈ (3π/2; 2π).

Для решения этой задачи нам понадобится формула двойного угла для синуса и основное тригонометрическое тождество.

1. Формула двойного угла для синуса:

\[ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \]

2. Основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

3. Находим sin(α):

Нам дано cos(α) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}}. Подставим это в тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(\alpha) + \left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}}\right)^2 = 1 \]

\(\sin^2(\alpha) + \frac{7}{8} = 1\)

\(\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{7}{8}\)

\(\sin^2(\alpha) = \frac{1}{8}\)

Теперь извлекаем квадратный корень:

\[ \sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{1}{8}} = \pm\frac{1}{\sqrt{8}} \]

4. Определяем знак sin(α):

Нам дано, что α ∈ (3π/2; 2π). Это четвертая координатная четверть. В четвертой четверти синус отрицателен, а косинус положителен.

Значит, sin(α) = -\frac{1}{\sqrt{8}}.

5. Вычисляем sin(2α):

Теперь подставим значения sin(α) и cos(α) в формулу двойного угла:

\[ \sin(2\alpha) = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{8}}\right) \times \left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}}\right) \]

\(\sin(2\alpha) = 2 \times \frac{-\sqrt{7}}{8}\)

\(\sin(2\alpha) = \frac{-2\sqrt{7}}{8}\)

\(\sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{7}}{4}\)

Ответ: -√7/4