4. Найдите sin A, если cos A=\frac{2}{3}

Разбираемся:

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Из этого тождества можно выразить \(\sin A\):

\[\sin A = \pm \sqrt{1 - \cos^2 A}\]

Подставляем известное значение \(\cos A = \frac{2}{3}\):

\[\sin A = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2}\] \[\sin A = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}}\] \[\sin A = \pm \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{4}{9}}\] \[\sin A = \pm \sqrt{\frac{5}{9}}\] \[\sin A = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Так как угол \(A\) острый (потому что \(\cos A > 0\)), то \(\sin A\) должен быть положительным. Следовательно:

\[\sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}\]