Найдите sin 2a, если sin a = \(\frac{12}{13}\), \(a \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\).

Пошаговое решение:

Найдём cos a, учитывая, что \(a \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\), т.е. угол \(a\) находится во второй четверти, где косинус отрицателен:

\[\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\]

\[\cos a = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}\]

Теперь найдём \(\sin 2a\), используя формулу двойного угла:

\[\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13 \cdot 13} = -\frac{120}{169}\]

Ответ: -\(\frac{120}{169}\)