Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, AB=17; б) BC = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС=24, AB = 25.

Решение:

a) Дано: BC = 8, AB = 17. Треугольник ABC - прямоугольный, ∠C = 90°.

Синус угла A: $$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$

Косинус угла A: Сначала найдем AC по теореме Пифагора: $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$ Тогда $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$

Тангенс угла A: $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$$

Угол B является острым углом прямоугольного треугольника, поэтому $$sin B = cos A = \frac{15}{17}$$

$$cos B = sin A = \frac{8}{17}$$

$$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$$

б) Дано: BC = 21, AC = 20.

Синус угла A: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$. Сначала найдем AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$

Тогда $$sin A = \frac{21}{29}$$

Косинус угла A: $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$$

Тангенс угла A: $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$$

Угол B является острым углом прямоугольного треугольника, поэтому $$sin B = cos A = \frac{20}{29}$$

$$cos B = sin A = \frac{21}{29}$$

$$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$$

в) Дано: BC = 1, AC = 2.

Синус угла A: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$. Сначала найдем AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

Тогда $$sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Косинус угла A: $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Тангенс угла A: $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$$

Угол B является острым углом прямоугольного треугольника, поэтому $$sin B = cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

$$cos B = sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

$$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$$

г) Дано: AC = 24, AB = 25.

Синус угла A: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$. Сначала найдем BC по теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$$

Тогда $$sin A = \frac{7}{25}$$

Косинус угла A: $$cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$$

Тангенс угла A: $$tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$$

Угол B является острым углом прямоугольного треугольника, поэтому $$sin B = cos A = \frac{24}{25}$$

$$cos B = sin A = \frac{7}{25}$$

$$tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$$