Найдите скалярное произведение векторов: 1) \(\vec{a}(-\frac{1}{3}; 5)\) и \(\vec{b}(-9; \frac{1}{3})\) 2) Найдите косинус угла между векторами: \(\vec{m}(3; 4)\) и \(\vec{n}(-5; 3)\) \(\vec{m}(-4; 2.3)\) и \(\vec{n}(-6; 10)\) 3) \(\vec{a}(1.5; 3.2)\) и \(\vec{b}(4; 1)\) Найдите координаты вектора \(\vec{c}(x; y)\), если \(\vec{a}(5; 6)\), \(\vec{b}(-3; 2)\) и \(|\vec{c}| = |\vec{b}|\)

1) Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}(-\frac{1}{3}; 5)\) и \(\vec{b}(-9; \frac{1}{3})\).

Скалярное произведение векторов находится по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно.

В нашем случае: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\frac{1}{3}) \cdot (-9) + 5 \cdot \frac{1}{3} = 3 + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} + \frac{5}{3} = \frac{14}{3}\)

Ответ: \(\frac{14}{3}\)

2) Найдем косинус угла между векторами:

а) \(\vec{m}(3; 4)\) и \(\vec{n}(-5; 3)\)

Косинус угла между векторами находится по формуле: $$cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|}$$

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot (-5) + 4 \cdot 3 = -15 + 12 = -3$$

Теперь найдем модули векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

$$|\vec{m}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

$$|\vec{n}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$

Подставим значения в формулу для косинуса:

$$cos(\alpha) = \frac{-3}{5 \cdot \sqrt{34}} = -\frac{3}{5\sqrt{34}} = -\frac{3\sqrt{34}}{5 \cdot 34} = -\frac{3\sqrt{34}}{170}$$

Ответ: \(-\frac{3\sqrt{34}}{170}\)

б) \(\vec{m}(-4; 2.3)\) и \(\vec{n}(-6; 10)\)

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = (-4) \cdot (-6) + 2.3 \cdot 10 = 24 + 23 = 47$$

Теперь найдем модули векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\):

$$|\vec{m}| = \sqrt{(-4)^2 + (2.3)^2} = \sqrt{16 + 5.29} = \sqrt{21.29}$$

$$|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136}$$

Подставим значения в формулу для косинуса:

$$cos(\alpha) = \frac{47}{\sqrt{21.29} \cdot \sqrt{136}} = \frac{47}{\sqrt{2895.44}} \approx \frac{47}{53.81} \approx 0.873$$

Ответ: \(\frac{47}{\sqrt{21.29} \cdot \sqrt{136}} \approx 0.873\)

3) Найдем координаты вектора \(\vec{c}(x; y)\), если \(\vec{a}(5; 6)\), \(\vec{b}(-3; 2)\) и \(|\vec{c}| = |\vec{b}|\)

Уточните условие. Чему равна сумма \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ?