Решение:

1. Проведём высоту CH к стороне AD.

2. Рассмотрим треугольник CHD. Он прямоугольный, угол D = 45°, следовательно, угол HCD = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник CHD равнобедренный, и CH = HD.

3. Рассмотрим четырёхугольник ABCH. Угол C = 90°, угол B = 135°, угол A = 360° - 90° - 135° - 45° = 90°. Следовательно, ABCH - прямоугольник, и AB = CH.

4. Пусть CH = x. Тогда HD = x. Так как AD = AH + HD, то AH = AD - HD = 30 - x.

5. Проведём высоту BK к стороне AD. Тогда BK = CH = x. Рассмотрим треугольник ABK. Он прямоугольный. Угол ABK = 180° - 90° - 45° = 45° . Следовательно, ABK - равнобедренный, AK = BK = x.

6. AH = AK + KH = x + BC. Т.к. AH = 30 - x, то 30 - x = x + BC. Отсюда, BC = 30 - 2x.

7. Рассмотрим четырёхугольник ABCK. Т.к. AB || CK и BC || AK, ABCK - параллелограмм. Значит BC = AK = x. И 30 - 2x = x; 3x = 30; x = 10.

8. Таким образом, BC = 10.

Ответ: BC = 10.