Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn): a) b₁=1; q=1/3; б) b₁=1; q=-1/3; в) b₁=1/2; q=2/3; г) b₁=1/2; q=-2/3.

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула:

$$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$

где (S) - сумма прогрессии, (b_1) - первый член прогрессии, (q) - знаменатель прогрессии.

Важно помнить, что прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль знаменателя меньше 1, то есть (|q| < 1). В противном случае, сумма бесконечной прогрессии не существует.

1. Рассмотрим случай а): (b_1 = 1), (q = \frac{1}{3}). Так как (|\frac{1}{3}| < 1), сумма существует.

   $$ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5 $$

2. Рассмотрим случай б): (b_1 = 1), (q = -\frac{1}{3}). Так как (|-\frac{1}{3}| < 1), сумма существует.

   $$ S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} = 0.75 $$

3. Рассмотрим случай в): (b_1 = \frac{1}{2}), (q = \frac{2}{3}). Так как (|\frac{2}{3}| < 1), сумма существует.

   $$ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1.5 $$

4. Рассмотрим случай г): (b_1 = \frac{1}{2}), (q = -\frac{2}{3}). Так как (|-\frac{2}{3}| < 1), сумма существует.

   $$ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10} = 0.3 $$

Ответ:

• a) 1.5
• б) 0.75
• в) 1.5
• г) 0.3