Найдите сумму корней уравнения √(3−x/7x) + 1/3 √((7x)/(3−x)) = 1 1/3. В ответ запишите полученный результат, умноженный на 16.

Решение:

• Шаг 1: Преобразуем уравнение:

\[\sqrt{\frac{3-x}{7x}} + \frac{1}{3} \sqrt{\frac{7x}{3-x}} = 1 \frac{1}{3}\]\[\sqrt{\frac{3-x}{7x}} + \frac{1}{3} \sqrt{\frac{7x}{3-x}} = \frac{4}{3}\]

• Шаг 2: Введем замену:

Пусть \(t = \sqrt{\frac{3-x}{7x}}\, тогда \(\frac{1}{t} = \sqrt{\frac{7x}{3-x}}\, Подставим в уравнение:\[t + \frac{1}{3t} = \frac{4}{3}\]

• Шаг 3: Решим уравнение относительно t:

Умножим обе части уравнения на \(3t\):\[3t^2 + 1 = 4t\]\[3t^2 - 4t + 1 = 0\]Решим квадратное уравнение относительно t:\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4\]\[t_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}\]\[t_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1\]\[t_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

• Шаг 4: Вернемся к исходной переменной x:

Случай 1: \(t = 1\)\[\sqrt{\frac{3-x}{7x}} = 1\]\[\frac{3-x}{7x} = 1\]\[3 - x = 7x\]\[3 = 8x\]\[x_1 = \frac{3}{8}\]Случай 2: \(t = \frac{1}{3}\)\[\sqrt{\frac{3-x}{7x}} = \frac{1}{3}\]\[\frac{3-x}{7x} = \frac{1}{9}\]\[9(3 - x) = 7x\]\[27 - 9x = 7x\]\[27 = 16x\]\[x_2 = \frac{27}{16}\]

• Шаг 5: Найдем сумму корней:

\[x_1 + x_2 = \frac{3}{8} + \frac{27}{16} = \frac{6}{16} + \frac{27}{16} = \frac{33}{16}\]

• Шаг 6: Умножим сумму корней на 16:

\[\frac{33}{16} \cdot 16 = 33\]

Ответ: 33