Найдите сумму квадратов корней уравнения log2(x² + 4x − 11) = 0.

Решение:

• Шаг 1: Преобразуем логарифмическое уравнение:

\[\log_2(x^2 + 4x - 11) = 0\]\[x^2 + 4x - 11 = 2^0\]\[x^2 + 4x - 11 = 1\]\[x^2 + 4x - 12 = 0\]

• Шаг 2: Решим квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -12\).\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 8}{2}\]\[x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2\]\[x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

• Шаг 3: Найдем сумму квадратов корней:

\[x_1^2 + x_2^2 = 2^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40\]

Ответ: 40