Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства $$\log_{\frac{1}{4}} (48-2x) \le \frac{\log_5 (4x-29)}{\log_5 0,25}$$

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и свойства логарифмов.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

• Для логарифма $$\log_{\frac{1}{4}} (48-2x)$$ необходимо, чтобы аргумент был положительным: $$48 - 2x > 0 → 2x < 48 → x < 24$$.
• Для логарифма $$\log_5 (4x-29)$$ необходимо, чтобы аргумент был положительным: $$4x - 29 > 0 → 4x > 29 → x > \frac{29}{4} → x > 7.25$$.
• Объединяя условия, получаем ОДЗ: $$7.25 < x < 24$$.

2. Преобразование неравенства:

• Перейдем к одному основанию для логарифмов. Заметим, что $$0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$$.
• Используем свойство логарифма: $$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$.
• Знаменатель дроби справа: $$\log_5 0,25 = \log_5 (\frac{1}{4}) = \log_5 (4^{-1}) = -\log_5 4$$.
• Также, $$\log_{\frac{1}{4}} (48-2x) = \frac{\log_5 (48-2x)}{\log_5 (1/4)} = \frac{\log_5 (48-2x)}{-\log_5 4}$$.
• Теперь неравенство примет вид:
\[ \frac{\log_5 (48-2x)}{-\log_5 4} \le \frac{\log_5 (4x-29)}{-\log_5 4} \]
• Умножим обе части на $$-\log_5 4$$. Так как $$-\log_5 4 < 0$$, знак неравенства изменится на противоположный:
\[ \log_5 (48-2x) \ge \log_5 (4x-29) \]

3. Решение логарифмического неравенства:

• Так как основание логарифма $$5 > 1$$, функция логарифма возрастает. Поэтому:
\[ 48 - 2x \ge 4x - 29 \]
• $$48 + 29 \ge 4x + 2x$$
• $$77 \ge 6x$$
• $$x \le \frac{77}{6}$$
• $$x \le 12 \frac{5}{6}$$

4. Объединение с ОДЗ:

• Мы получили $$x \le 12 \frac{5}{6}$$ и ОДЗ $$7.25 < x < 24$$.
• Пересечение этих условий: $$7.25 < x \le 12 \frac{5}{6}$$.
• В десятичной дроби: $$7.25 < x \le 12.833...$$.

5. Определение наименьшего и наибольшего целых решений:

• Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $$x > 7.25$$, это $$8$$.
• Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $$x \le 12.833...$$, это $$12$$.
• Наименьшее целое решение = $$8$$.
• Наибольшее целое решение = $$12$$.

6. Нахождение суммы:

• Сумма наименьшего и наибольшего целых решений: $$8 + 12 = 20$$.

Ответ: 20