Результат упрощения выражения $$\frac{a^2 \cdot \log_{\sqrt{5}} 25}{a-4} \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2} - \frac{8(a-2)}{a^4}} , если \ a < -5 , равен ....$$

Решение:

Для упрощения выражения сначала преобразуем логарифм:

• \[ \log_{\sqrt{5}} 25 = \log_{5^{1/2}} 5^2 = \frac{2}{1/2} \log_5 5 = 4 \]

Теперь упростим выражение под корнем:

• \[ \frac{1}{a^2} - \frac{8(a-2)}{a^4} = \frac{a^2}{a^4} - \frac{8a - 16}{a^4} = \frac{a^2 - 8a + 16}{a^4} = \frac{(a-4)^2}{a^4} \]

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

• \[ \frac{a^2 \cdot 4}{a-4} \cdot \sqrt{\frac{(a-4)^2}{a^4}} = \frac{4a^2}{a-4} \cdot \frac{|a-4|}{a^2} \]

Так как по условию $$a < -5$$, то $$a-4$$ отрицательно, следовательно $$|a-4| = -(a-4) = 4-a$$.

• \[ \frac{4a^2}{a-4} \cdot \frac{4-a}{a^2} = \frac{4a^2}{a-4} \cdot \frac{-(a-4)}{a^2} = -4 \]

Ответ: -4