2. Найдите сумму натуральных решений неравенства x-15 x+1 4 < 3-x Ответ:

Ответ: 16

Решим неравенство: \[\frac{x-15}{x+1} \le \frac{4}{3-x}\] Перенесем все в левую часть: \[\frac{x-15}{x+1} - \frac{4}{3-x} \le 0\] Приведем к общему знаменателю: \[\frac{(x-15)(3-x) - 4(x+1)}{(x+1)(3-x)} \le 0\] Раскроем скобки и упростим: \[\frac{3x - x^2 - 45 + 15x - 4x - 4}{(x+1)(3-x)} \le 0\] \[\frac{-x^2 + 14x - 49}{(x+1)(3-x)} \le 0\] Умножим на -1, чтобы изменить знаки и упростить: \[\frac{x^2 - 14x + 49}{(x+1)(3-x)} \ge 0\] \[\frac{(x-7)^2}{(x+1)(3-x)} \ge 0\] Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому: \[x
e -1, x
e 3\] Теперь рассмотрим числитель. Числитель равен нулю при: \[(x-7)^2 = 0 \Rightarrow x = 7\] Решением неравенства будет интервал, где выражение больше или равно нулю. Поскольку \[(x-7)^2\] всегда неотрицательно, знак выражения зависит от знаменателя. Рассмотрим метод интервалов. Отметим точки -1, 3 и 7 на числовой прямой.

        +     -     +      +
    ----(-1)----(3)----(7)---->
    

Интервалы: \[(-\infty; -1), (-1; 3), (3; +\infty)\] Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. Так как числитель в квадрате, то при x=7 будет равенство нулю. Значит, неравенство выполняется на интервалах \[(-1; 3)\] и в точке x=7. Натуральные решения неравенства: 1, 2 и 7. Сумма натуральных решений: 1 + 2 + 7 = 10

Ответ: 10