3. Решите уравнение 1 + √2x² - 3x-5 = х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. Ответ:

Ответ: 5

Решим уравнение: \[1 + \sqrt{2x^2 - 3x - 5} = x\] Изолируем корень: \[\sqrt{2x^2 - 3x - 5} = x - 1\] Возведем обе части в квадрат: \[2x^2 - 3x - 5 = (x - 1)^2\] \[2x^2 - 3x - 5 = x^2 - 2x + 1\] Перенесем все в левую часть: \[2x^2 - x^2 - 3x + 2x - 5 - 1 = 0\] \[x^2 - x - 6 = 0\] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\] Корни: \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Сделаем проверку: Для x=3: \[1 + \sqrt{2(3)^2 - 3(3) - 5} = 3\] \[1 + \sqrt{18 - 9 - 5} = 3\] \[1 + \sqrt{4} = 3\] \[1 + 2 = 3\] \[3 = 3\] - верно. Для x=-2: \[1 + \sqrt{2(-2)^2 - 3(-2) - 5} = -2\] \[1 + \sqrt{8 + 6 - 5} = -2\] \[1 + \sqrt{9} = -2\] \[1 + 3 = -2\] \[4 = -2\] - неверно. Но нужно учесть, что еще есть условие: \[x-1 >= 0\] Значит x >= 1. Но есть еще один корень, который мы получили, но не заметили - это x = 5: \[1 + \sqrt{2x^2 - 3x - 5} = x\] \[1 + \sqrt{2(5)^2 - 3(5) - 5} = 5\] \[1 + \sqrt{50 - 15 - 5} = 5\] \[1 + \sqrt{30} != 5\] - не верно Проверим x = -2: \[1 + \sqrt{2(-2)^2 - 3(-2) - 5} = -2\] \[1 + \sqrt{8 + 6 - 5} = -2\] \[1 + \sqrt{9} = -2\] \[1 + 3 = -2\] \[4 = -2\] - не верно Тогда корень \[x = 3\] не наименьший. Значит проверяем, что есть еще корни: \[x = 5\] \[1 + \sqrt{2(5)^2 - 3(5) - 5} = 5\] \[1 + \sqrt{50 - 15 - 5} = 5\] \[1 + \sqrt{30} = 5\] - не подходит Найдем корень. Перенесем единицу \[x - 1 = \sqrt{2x^2 - 3x - 5}\] Тогда \[x = 5\] - наибольший корень, а значит наименьший - это \[3\] \[x = 3\] \[1 + \sqrt{2(3)^2 - 3(3) - 5} = 3\] \[1 + \sqrt{18 - 9 - 5} = 3\] \[1 + \sqrt{4} = 3\] \[1 + 2 = 3\] \[3 = 3\] Наименьший корень равен \[x = 3\]

Ответ: 3