5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

Решение:

Найдем наибольшее число, кратное 7 и не превосходящее 150:

$$150 \div 7 = 21 \text{ (остаток 3)}$$

Значит, наибольшее число, кратное 7, это:

$$21 \cdot 7 = 147$$

Теперь найдем сумму арифметической прогрессии, где первый член 7, последний член 147 и разность 7:

$$a_1 = 7$$ $$a_n = 147$$ $$d = 7$$

Найдем количество членов прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ $$147 = 7 + (n - 1)7$$ $$140 = (n - 1)7$$ $$n - 1 = 20$$ $$n = 21$$

Теперь найдем сумму:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$ $$S_{21} = \frac{7 + 147}{2} \cdot 21 = \frac{154}{2} \cdot 21 = 77 \cdot 21 = 1617$$

Ответ: 1617