Найдите tg²a, если 5sin²a + 13cos²a = 6.

Решение:

Дано уравнение: \( 5\sin^2 \alpha + 13\cos^2 \alpha = 6 \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), откуда \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).

Подставим это в исходное уравнение:

\[ 5(1 - \cos^2 \alpha) + 13\cos^2 \alpha = 6 \]

Раскроем скобки:

\[ 5 - 5\cos^2 \alpha + 13\cos^2 \alpha = 6 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 5 + 8\cos^2 \alpha = 6 \]

Выразим \( \cos^2 \alpha \):

\[ 8\cos^2 \alpha = 6 - 5 \]

\( 8\cos^2 \alpha = 1 \)

\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{8} \]

Теперь найдём \( \sin^2 \alpha \):

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]

Теперь найдём \( \text{tg}^2 \alpha \) по формуле \( \text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \):

\[ \text{tg}^2 \alpha = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{1} = 7 \]

Ответ: 7