Найдите значение выражения √50cos² 13π/8 - √50 sin² 13π/8.

Решение:

Вынесем общий множитель \( \sqrt{50} \) за скобки:

\[ \sqrt{50} \cos^2 \frac{13\pi}{8} - \sqrt{50} \sin^2 \frac{13\pi}{8} = \sqrt{50} \left( \cos^2 \frac{13\pi}{8} - \sin^2 \frac{13\pi}{8} \right) \]

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \).

В нашем случае \( \alpha = \frac{13\pi}{8} \), поэтому \( 2\alpha = 2 \cdot \frac{13\pi}{8} = \frac{13\pi}{4} \).

\[ \sqrt{50} \left( \cos^2 \frac{13\pi}{8} - \sin^2 \frac{13\pi}{8} \right) = \sqrt{50} \cos \left( \frac{13\pi}{4} \right) \]

Упростим \( \sqrt{50} \): \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).

Найдем значение \( \cos \left( \frac{13\pi}{4} \right) \). Угол \( \frac{13\pi}{4} \) можно представить как \( \frac{8\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4} \).

Поскольку косинус является периодической функцией с периодом \( 2\pi \), то \( \cos \left( 2\pi + \frac{5\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{5\pi}{4} \right) \).

Угол \( \frac{5\pi}{4} \) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Его можно представить как \( \pi + \frac{\pi}{4} \).

\( \cos \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставим значения обратно:

\[ 5\sqrt{2} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{5 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2} = -\frac{5 \cdot 2}{2} = -5 \]

Ответ: -5