Найдите $$tg 2a$$, если $$cos a = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$ и $$\frac{\pi}{2} < a < \pi$$.

Дано: $$\cos a = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$ и $$\frac{\pi}{2} < a < \pi$$. Нужно найти $$\tan 2a$$. Сначала найдем $$\sin a$$, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$. $$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$$ $$\sin a = \pm \frac{1}{7}$$ Так как $$\frac{\pi}{2} < a < \pi$$, то угол $$a$$ находится во второй четверти, где синус положителен. Значит, $$\sin a = \frac{1}{7}$$. Теперь найдем $$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12}$$ Теперь используем формулу для тангенса двойного угла: $$\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{12}\right)^2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{3}{144}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{1}{48}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{47}{48}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{48}{47} = \frac{8\sqrt{3}}{47}$$ Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{47}$$