Найдите tg2a, если sina = -√17/9 и -π < α < -π/2. В ответе запишите найденное значение, умноженное на 47/√17.

Решение:

Из условия \( -\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2} \) следует, что угол \( \alpha \) находится в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны.

Найдем \( \cos \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{17}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{17}{81} = \frac{81 - 17}{81} = \frac{64}{81} \]\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{81}} = -\frac{8}{9} \] (знак минус, так как \( \alpha \) в третьей четверти).

Теперь найдем \( \text{tg} \alpha \):

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{9}}{-\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{17}}{8} \]

Используем формулу двойного угла для тангенса:

\[ \text{tg} 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \]\[ \text{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{8}}{1 - \left(\frac{\sqrt{17}}{8}\right)^2} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{1 - \frac{17}{64}} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{64 - 17}{64}} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{47}{64}} \]\[ \text{tg} 2\alpha = \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot \frac{64}{47} = \frac{\sqrt{17} \cdot 16}{47} = \frac{16\sqrt{17}}{47} \]

По условию, в ответе нужно записать найденное значение, умноженное на \( \frac{47}{\sqrt{17}} \):

\[ \frac{16\sqrt{17}}{47} \cdot \frac{47}{\sqrt{17}} = 16 \]

Ответ: 16