Найдите $$tg2a$$, если $$cosa = \frac{2\sqrt{6}}{5}$$ и $$\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$$.

Найдём sin(a), учитывая, что $$\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$$. Это четвёртая четверть, где синус отрицателен. $$\sin^2a + \cos^2a = 1$$, значит, $$\sin^2a = 1 - \cos^2a$$. $$\sin^2a = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$$. $$\sin a = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$$. Так как $$a$$ в четвёртой четверти, $$\sin a = -\frac{1}{5}$$. Теперь найдём tg(a): $$tg(a) = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12}$$. Используем формулу для tg(2a): $$tg(2a) = \frac{2tg(a)}{1 - tg^2(a)}$$. $$tg(2a) = \frac{2 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{12})}{1 - (-\frac{\sqrt{6}}{12})^2} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{6}{144}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{1 - \frac{1}{24}} = \frac{-\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{23}{24}} = -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{24}{23} = -\frac{4\sqrt{6}}{23}$$. Ответ: $$-\frac{4\sqrt{6}}{23}$$