Найдите tg2a, если \(sin \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{8}\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\).

Для решения этой задачи, нам потребуется несколько шагов: 1. Найти \(cos \alpha\): Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Дано \(sin \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{8}\), подставляем это значение в тождество: \[\left(-\frac{\sqrt{39}}{8}\right)^2 + cos^2 \alpha = 1\] \[\frac{39}{64} + cos^2 \alpha = 1\] \[cos^2 \alpha = 1 - \frac{39}{64}\] \[cos^2 \alpha = \frac{64 - 39}{64}\] \[cos^2 \alpha = \frac{25}{64}\] \[cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{64}}\] \[cos \alpha = \pm \frac{5}{8}\] Так как \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) (третья четверть), то \(cos \alpha < 0\). Следовательно, \[cos \alpha = -\frac{5}{8}\] 2. Найти \(tg \alpha\): Используем формулу: \(tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\). \[tg \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{39}}{8}}{-\frac{5}{8}}\] \[tg \alpha = \frac{\sqrt{39}}{5}\] 3. Найти \(tg 2\alpha\): Используем формулу двойного угла: \(tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}\). \[tg 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{5}}{1 - \left(\frac{\sqrt{39}}{5}\right)^2}\] \[tg 2\alpha = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{1 - \frac{39}{25}}\] \[tg 2\alpha = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{\frac{25 - 39}{25}}\] \[tg 2\alpha = \frac{\frac{2\sqrt{39}}{5}}{-\frac{14}{25}}\] \[tg 2\alpha = \frac{2\sqrt{39}}{5} \cdot \left(-\frac{25}{14}\right)\] \[tg 2\alpha = -\frac{5\sqrt{39}}{7}\] Таким образом, \(tg 2\alpha = -\frac{5\sqrt{39}}{7}\). Ответ: \(tg 2\alpha = -\frac{5\sqrt{39}}{7}\)