Найдите tga, если sina = 3 √13 и а ∈ (0; 2 ).

Решение:

Нам дано, что \( \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}} \) и \( \alpha \) лежит в первой четверти \( \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \). В первой четверти \( \cos \alpha > 0 \) и \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставим значение \( \sin \alpha \):

\[ \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{9}{13} + \cos^2 \alpha = 1 \]

Найдём \( \cos^2 \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{13} = \frac{13 - 9}{13} = \frac{4}{13} \]

Так как \( \alpha \) в первой четверти, \( \cos \alpha > 0 \), поэтому:

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \]

Теперь найдём \( \operatorname{tg} \alpha \) по формуле \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):

\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{3}{\sqrt{13}}}{\frac{2}{\sqrt{13}}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{3}{2} \]

Ответ: tg \( \alpha = \frac{3}{2} \).