Найдите значение выражения 20√3 cos (-π/3) sin (-π/3).

Решение:

Дано выражение: \( 20\sqrt{3} \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \).

Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:

• \( \cos(-x) = \cos(x) \)
• \( \sin(-x) = -\sin(x) \)

Подставим это в выражение:

\[ 20\sqrt{3} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \left( -\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \right) \]

\[ -20\sqrt{3} \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \]

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \). Отсюда \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \).

В нашем случае \( x = \frac{\pi}{3} \), значит \( 2x = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).

Выражение приобретает вид:

\[ -20\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \]

\[ -10\sqrt{3} \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \]

Значение \( \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (так как \( \frac{2\pi}{3} \) — угол во второй четверти, синус положителен, и \( \sin(\pi - x) = \sin x \), \( \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)).

Подставим значение синуса:

\[ -10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ -\frac{10 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = -\frac{10 \cdot 3}{2} = -\frac{30}{2} = -15 \]

Ответ: -15.