9. Найдите точки экстремума и определите экстремумы функции $$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{8}{x}$$.

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно:

1. Найти первую производную функции.
2. Приравнять первую производную к нулю и решить уравнение. Корни этого уравнения – это точки, в которых функция может иметь экстремум.
3. Определить знак производной слева и справа от каждой из найденных точек. Если знак меняется с «+» на «-», то в этой точке функция имеет максимум. Если знак меняется с «-» на «+», то в этой точке функция имеет минимум. Если знак не меняется, то экстремума в этой точке нет.
4. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Давайте выполним эти шаги для функции $$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{8}{x}$$.

1. Находим первую производную:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2}{2} + \frac{8}{x}\right) = \frac{2x}{2} - \frac{8}{x^2} = x - \frac{8}{x^2}$$

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

   $$x - \frac{8}{x^2} = 0$$

   $$x = \frac{8}{x^2}$$

   $$x^3 = 8$$

   $$x = \sqrt[3]{8} = 2$$

   Итак, у нас есть одна точка, в которой функция может иметь экстремум: $$x = 2$$.

3. Определяем знак производной слева и справа от точки $$x = 2$$:

   Возьмем значения $$x$$, немного меньше и немного больше 2, например, $$x = 1$$ и $$x = 3$$.

   • При $$x = 1$$: $$f'(1) = 1 - \frac{8}{1^2} = 1 - 8 = -7$$ (знак «-»)
   • При $$x = 3$$: $$f'(3) = 3 - \frac{8}{3^2} = 3 - \frac{8}{9} = \frac{27 - 8}{9} = \frac{19}{9}$$ (знак «+»)

   Поскольку знак производной меняется с «-» на «+» в точке $$x = 2$$, это означает, что в этой точке функция имеет минимум.

4. Вычисляем значение функции в точке минимума:

   $$f(2) = \frac{2^2}{2} + \frac{8}{2} = \frac{4}{2} + 4 = 2 + 4 = 6$$

Ответ: Функция $$f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{8}{x}$$ имеет минимум в точке $$x = 2$$, и значение функции в этой точке равно 6.

Точка экстремума: x = 2

Экстремум функции: f(2) = 6