Найдите точку максимума функции $$y=3,5x^2-29x+30\ln{x}+67$$.

Для нахождения точки максимума функции необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции. 2. Приравнять производную к нулю и решить уравнение. Найденные корни будут критическими точками. 3. Определить знаки производной слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума. 4. Учесть область определения функции. Логарифм определен только для положительных значений аргумента, поэтому необходимо учитывать, что $$x > 0$$. Шаг 1: Находим производную функции $$y' = (3,5x^2 - 29x + 30\ln{x} + 67)'$$ $$y' = 3,5 \cdot 2x - 29 + 30 \cdot \frac{1}{x} + 0$$ $$y' = 7x - 29 + \frac{30}{x}$$ Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение $$7x - 29 + \frac{30}{x} = 0$$ Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $$x$$ (учитывая, что $$x > 0$$): $$7x^2 - 29x + 30 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D$$ равен: $$D = (-29)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 841 - 840 = 1$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{1}}{2 \cdot 7} = \frac{29 + 1}{14} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7}$$ $$x_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{1}}{2 \cdot 7} = \frac{29 - 1}{14} = \frac{28}{14} = 2$$ Итак, мы имеем две критические точки: $$x_1 = \frac{15}{7}$$ и $$x_2 = 2$$. Шаг 3: Определяем знаки производной Нужно определить знак производной на интервалах $$(0; \frac{15}{7}), (\frac{15}{7}; 2), (2; +\infty)$$. * Рассмотрим интервал $$(0; \frac{15}{7})$$, возьмем $$x = 1$$. Тогда $$y'(1) = 7 \cdot 1 - 29 + \frac{30}{1} = 7 - 29 + 30 = 8 > 0$$. * Рассмотрим интервал $$(\frac{15}{7}; 2)$$, возьмем $$x = \frac{29}{14}$$. Тогда $$y'(\frac{29}{14}) = 7 \cdot \frac{29}{14} - 29 + \frac{30}{\frac{29}{14}} = \frac{29}{2} - 29 + \frac{420}{29} = \frac{29}{2} - \frac{58}{2} + \frac{420}{29} = -\frac{29}{2} + \frac{420}{29} = \frac{-29 \cdot 29 + 420 \cdot 2}{2 \cdot 29} = \frac{-841+840}{58} = -\frac{1}{58} < 0$$. * Рассмотрим интервал $$(2; +\infty)$$, возьмем $$x = 3$$. Тогда $$y'(3) = 7 \cdot 3 - 29 + \frac{30}{3} = 21 - 29 + 10 = 2 > 0$$. Таким образом, знаки производной: * на интервале $$(0; \frac{15}{7})$$ производная положительна ($$y' > 0$$). * на интервале $$(\frac{15}{7}; 2)$$ производная отрицательна ($$y' < 0$$). * на интервале $$(2; +\infty)$$ производная положительна ($$y' > 0$$). Точка максимума - это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус. В нашем случае это точка $$x = \frac{15}{7}$$. Ответ: Точка максимума: $$x = \frac{15}{7}$$