12 Найдите точку максимума функции f(x)=(x+4)²(x+2)-10.

Для нахождения точки максимума функции необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную к нулю и найти корни уравнения.
3. Определить знаки производной на интервалах, образованных корнями.
4. Выбрать точку, в которой производная меняет знак с плюса на минус.

1) Найдём производную функции f(x)=(x+4)²(x+2)-10, используя правило произведения:

$$f'(x)=((x+4)^2)'(x+2) + (x+4)^2(x+2)'$$

$$f'(x)=2(x+4)(x+2) + (x+4)^2$$

$$f'(x)=(x+4)(2(x+2) + (x+4))$$

$$f'(x)=(x+4)(2x+4+x+4)$$

$$f'(x)=(x+4)(3x+8)$$

2) Приравняем производную к нулю:

$$(x+4)(3x+8)=0$$

$$x+4=0$$ или $$3x+8=0$$

$$x_1=-4$$ или $$x_2=-\frac{8}{3}$$

3) Определим знаки производной на интервалах:

Интервалы: $$(-\infty; -4), (-4; -\frac{8}{3}), (-\frac{8}{3}; +\infty)$$.

На интервале $$(-\infty; -4)$$ возьмём $$x=-5$$. Тогда $$f'(-5)=(-5+4)(3(-5)+8)=(-1)(-15+8)=(-1)(-7)=7>0$$. Производная положительна.

На интервале $$(-4; -\frac{8}{3})$$ возьмём $$x=-3$$. Тогда $$f'(-3)=(-3+4)(3(-3)+8)=(1)(-9+8)=(1)(-1)=-1<0$$. Производная отрицательна.

На интервале $$(-\frac{8}{3}; +\infty)$$ возьмём $$x=0$$. Тогда $$f'(0)=(0+4)(3(0)+8)=(4)(8)=32>0$$. Производная положительна.

Производная меняет знак с плюса на минус в точке $$x=-4$$, значит, это точка максимума.

Ответ: -4