Найдите точку максимума функции y = 4 + 9x – 4x√x.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Находим производную функции:
\[y' = 9 - 4\left(1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = 9 - 4\sqrt{x} - \frac{2x}{\sqrt{x}} = 9 - 4\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 9 - 6\sqrt{x}\]
2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
\[9 - 6\sqrt{x} = 0\] \[6\sqrt{x} = 9\] \[\sqrt{x} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5\] \[x = (1.5)^2 = 2.25\]
3. Определяем знак производной слева и справа от критической точки:
• При \(x < 2.25\), например \(x = 1\), \(y' = 9 - 6\sqrt{1} = 3 > 0\) (функция возрастает)
• При \(x > 2.25\), например \(x = 4\), \(y' = 9 - 6\sqrt{4} = 9 - 12 = -3 < 0\) (функция убывает)
4. Поскольку при переходе через точку \(x = 2.25\) производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Ответ: 2.25