Найдите точку максимума функции y=(5x-1).cosx-5sinx + 7, принадлежащую промежутку (0;플).

Для нахождения точки максимума функции $$y = (5x - 1)\cos x - 5\sin x + 7$$, принадлежащей промежутку $$(0; \frac{\pi}{2})$$, нужно найти первую производную функции, приравнять её к нулю и найти корни уравнения на заданном промежутке.

Производная функции:$$y' = (5\cos x - (5x - 1)\sin x) - 5\cos x = 5\cos x - 5x\sin x + \sin x - 5\cos x = \sin x - 5x\sin x = \sin x(1 - 5x)$$.

Приравняем производную к нулю: $$\sin x(1 - 5x) = 0$$.

Отсюда либо $$\sin x = 0$$, либо $$1 - 5x = 0$$.

Если $$\sin x = 0$$, то $$x = \pi n$$, где $$n$$ - целое число. На промежутке $$(0; \frac{\pi}{2})$$ нет корней этого уравнения, так как $$\pi \approx 3.14$$, а $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$.

Если $$1 - 5x = 0$$, то $$5x = 1$$, откуда $$x = \frac{1}{5} = 0.2$$. Этот корень принадлежит промежутку $$(0; \frac{\pi}{2})$$, так как $$0 < 0.2 < 1.57$$.

Теперь проверим, является ли точка $$x = 0.2$$ точкой максимума. Для этого найдем вторую производную функции:$$y'' = \cos x(1 - 5x) + \sin x(-5) = \cos x - 5x\cos x - 5\sin x$$.

Подставим $$x = 0.2$$ во вторую производную:$$y''(0.2) = \cos(0.2) - 5 \cdot 0.2 \cos(0.2) - 5\sin(0.2) = \cos(0.2) - \cos(0.2) - 5\sin(0.2) = -5\sin(0.2)$$.Так как $$\sin(0.2) > 0$$, то $$y''(0.2) < 0$$. Значит, $$x = 0.2$$ - точка максимума.

Ответ: 0.2