Найдите точку минимума функции $$y = -18x^2 - x^3 + 77$$.

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю и решить уравнение. Затем проверить знаки производной слева и справа от полученных точек. 1. Найдем производную функции: $$y' = (-18x^2 - x^3 + 77)' = -36x - 3x^2$$ 2. Приравняем производную к нулю: $$-36x - 3x^2 = 0$$ 3. Решим полученное квадратное уравнение: $$-3x(12 + x) = 0$$ Отсюда получаем два решения: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = -12$$. 4. Проверим знаки производной на интервалах, образованных найденными точками: * $$x < -12$$, например, $$x = -13$$: $$y'(-13) = -36(-13) - 3(-13)^2 = 468 - 507 = -39 < 0$$ (функция убывает) * $$-12 < x < 0$$, например, $$x = -1$$: $$y'(-1) = -36(-1) - 3(-1)^2 = 36 - 3 = 33 > 0$$ (функция возрастает) * $$x > 0$$, например, $$x = 1$$: $$y'(1) = -36(1) - 3(1)^2 = -36 - 3 = -39 < 0$$ (функция убывает) 5. Анализ знаков производной показывает: * В точке $$x = -12$$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. * В точке $$x = 0$$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Ответ: -12