11. Найдите точку минимума функции f(x) = 2/3 x√x − 2x + 1

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем нужно проверить, является ли найденная точка точкой минимума.

1. Найдем производную функции $$f(x) = \frac{2}{3} x\sqrt{x} - 2x + 1$$. Запишем функцию в виде $$f(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} - 2x + 1$$.

$$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} - 2 = x^{1/2} - 2$$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение.

$$x^{1/2} - 2 = 0$$

$$x^{1/2} = 2$$

$$x = 4$$

3. Проверим, является ли x = 4 точкой минимума. Для этого найдем вторую производную функции f(x).

$$f''(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Вычислим значение второй производной в точке x = 4.

$$f''(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

Так как $$f''(4) > 0$$, то x = 4 является точкой минимума.

Ответ: 4