9. Найдите точку минимума функции f(x) = x√x − 3x + 1

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем нужно проверить, является ли найденная точка точкой минимума.

1. Найдем производную функции f(x) = x√x − 3x + 1. Запишем функцию в виде $$f(x) = x^{3/2} - 3x + 1$$.

$$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3$$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение.

$$\frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = 0$$

$$\frac{3}{2}x^{1/2} = 3$$

$$x^{1/2} = 2$$

$$x = 4$$

3. Проверим, является ли x = 4 точкой минимума. Для этого найдем вторую производную функции f(x).

$$f''(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{4\sqrt{x}}$$

Вычислим значение второй производной в точке x = 4.

$$f''(4) = \frac{3}{4\sqrt{4}} = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$$

Так как $$f''(4) > 0$$, то x = 4 является точкой минимума.

Ответ: 4