Найдите третий член убывающей геометрической прогрессии, если второй её член равен 9, а четвёртый равен 2.

Решение:

Обозначим члены геометрической прогрессии как b_1, b_2, b_3, b_4, ...

Из условия известно:

• b_2 = 9
• b_4 = 2

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b_1 * q^(n-1), где q — знаменатель прогрессии.

Запишем известные члены через эту формулу:

• b_2 = b_1 * q^(2-1) = b_1 * q = 9
• b_4 = b_1 * q^(4-1) = b_1 * q^3 = 2

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. b_1 * q = 9
2. b_1 * q^3 = 2

Чтобы найти знаменатель прогрессии q, разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{b_1 \times q^3}{b_1 \times q} = \frac{2}{9} \]

\[ q^2 = \frac{2}{9} \]

Так как прогрессия убывающая, знаменатель q должен быть отрицательным. Следовательно:

\[ q = -\sqrt{\frac{2}{9}} = -\frac{\sqrt{2}}{3} \]

Теперь найдем первый член прогрессии b_1, используя первое уравнение:

\[ b_1 = \frac{9}{q} = \frac{9}{-\frac{\sqrt{2}}{3}} = 9 \times (-\frac{3}{\sqrt{2}}) = -\frac{27}{\sqrt{2}} = -\frac{27\sqrt{2}}{2} \]

Нам нужно найти третий член прогрессии b_3:

\[ b_3 = b_1 * q^2 \]

Мы уже знаем, что q^2 = 2/9:

\[ b_3 = b_1 * \frac{2}{9} \]

Подставим значение b_1:

\[ b_3 = (-\frac{27\sqrt{2}}{2}) \times \frac{2}{9} \]

\[ b_3 = -\frac{27\sqrt{2} \times 2}{2 \times 9} \]

\[ b_3 = -\frac{54\sqrt{2}}{18} \]

\[ b_3 = -3\sqrt{2} \]

Проверка:

b_2 = b_1 * q = \(-\frac{27\sqrt{2}}{2}\) \(\times\) \(-\frac{\sqrt{2}}{3}\) = \(\frac{27 \times 2}{2 \times 3}\) = \(\frac{54}{6}\) = 9 (Верно)

b_3 = b_2 * q = 9 \(\times\) \(-\frac{\sqrt{2}}{3}\) = -3\(\sqrt{2}\)

b_4 = b_3 * q = \(-3\sqrt{2}\) \(\times\) \(-\frac{\sqrt{2}}{3}\) = \(\frac{3 \times 2}{3}\) = 2 (Верно)

Ответ: \(-3\sqrt{2}\)