Найдите трёхзначное число, кратное 30, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

• Искомое число трехзначное, кратное 30. Это означает, что оно делится на 10 и на 3.
• Делимость на 10 означает, что последняя цифра числа — 0.
• Делимость на 3 означает, что сумма цифр числа делится на 3.
• Пусть число имеет вид аб0, где а ≠ 0, а ≠ б, б ≠ 0.
• Сумма квадратов цифр а^2 + б^2 + 0^2 = а^2 + б^2.
• Эта сумма должна делиться на 4, но не делиться на 16.
• Проверим возможные комбинации цифр а и б (различных, ненулевых):
• Если а=1, б=2: а+б=3 (делится на 3), а^2+б^2 = 1+4=5 (не делится на 4).
• Если а=1, б=3: а+б=4 (не делится на 3).
• Если а=1, б=4: а+б=5 (не делится на 3).
• Если а=1, б=5: а+б=6 (делится на 3), а^2+б^2 = 1+25=26 (не делится на 4).
• Если а=1, б=8: а+б=9 (делится на 3), а^2+б^2 = 1+64=65 (не делится на 4).
• Если а=2, б=1: а+б=3 (делится на 3), а^2+б^2 = 4+1=5 (не делится на 4).
• Если а=2, б=4: а+б=6 (делится на 3), а^2+б^2 = 4+16=20 (делится на 4, но 20=4*5, а 16=4*4). 20 делится на 4, но не делится на 16. Число 240. Цифры 2, 4, 0 различны. Сумма цифр 2+4+0=6 (делится на 3). Число кратно 30. Сумма квадратов цифр 2^2+4^2+0^2 = 4+16=20. 20 делится на 4, но не делится на 16.
• Если а=3, б=0: цифры не различны.
• Если а=3, б=3: цифры не различны.
• Если а=3, б=6: а+б=9 (делится на 3), а^2+б^2 = 9+36=45 (не делится на 4).
• Если а=4, б=2: а+б=6 (делится на 3), а^2+б^2 = 16+4=20 (делится на 4, но не делится на 16). Число 420. Цифры 4, 2, 0 различны. Сумма цифр 4+2+0=6 (делится на 3). Число кратно 30. Сумма квадратов цифр 4^2+2^2+0^2 = 16+4=20. 20 делится на 4, но не делится на 16.
• Если а=6, б=3: а+б=9 (делится на 3), а^2+б^2 = 36+9=45 (не делится на 4).
• Если а=7, б=2: а+б=9 (делится на 3), а^2+б^2 = 49+4=53 (не делится на 4).
• Если а=8, б=4: а+б=12 (делится на 3), а^2+б^2 = 64+16=80 (делится на 4, но 80=16*5, значит, делится на 16).

Числа 240 и 420 подходят под все условия.

Ответ: 240