19 Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Ответ:

Пусть искомое число имеет вид $$N$$. По условию, $$N > 500$$, при делении на 3, 4 и 5 даёт в остатке 2. Это означает, что $$(N - 2)$$ делится на 3, 4 и 5 без остатка, то есть $$(N - 2)$$ кратно наименьшему общему кратному (НОК) чисел 3, 4 и 5.

НОК(3, 4, 5) = 60. Значит, $$(N - 2)$$ кратно 60. Следовательно, $$N - 2 = 60k$$, где $$k$$ - целое число.

$$N = 60k + 2$$

Так как $$N$$ трёхзначное и больше 500, то $$500 < 60k + 2 < 1000$$.

$$498 < 60k < 998$$

$$\frac{498}{60} < k < \frac{998}{60}$$

$$8.3 < k < 16.6$$

Значит, $$k$$ может принимать значения от 9 до 16. Переберём эти значения и проверим условие про две различные цифры в числе $$N$$.

Если $$k = 9$$, то $$N = 60 \cdot 9 + 2 = 540 + 2 = 542$$. В числе 542 три различные цифры (5, 4, 2).

Если $$k = 10$$, то $$N = 60 \cdot 10 + 2 = 600 + 2 = 602$$. В числе 602 две различные цифры (6, 0, 2).

Таким образом, число 602 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 602