Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении и на 8, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. Ответ:

Ответ: 424

Разбираемся:

• Пусть x - искомое число.
• x < 500
• x = 8a + r, где a - некоторое целое число, а r - остаток от деления на 8.
• x = 5b + r, где b - некоторое целое число, а r - остаток от деления на 5 (остаток одинаковый).

Из этих условий следует, что x - r должно делиться и на 8, и на 5. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 8 и 5 равно 40. То есть, x - r должно быть кратно 40.

Тогда можно записать x в виде x = 40k + r, где k - некоторое целое число. Так как остаток должен быть ненулевым, то r > 0.

Перебираем варианты для k:

• Если k = 1, то x = 40 + r. Так как r < 5 (иначе остаток от деления на 5 был бы больше или равен 5), то максимальное значение x равно 44.
• Если k = 2, то x = 80 + r. Максимальное значение x равно 84.
• Если k = 3, то x = 120 + r. Максимальное значение x равно 124.
• Если k = 4, то x = 160 + r. Максимальное значение x равно 164.
• Если k = 5, то x = 200 + r. Максимальное значение x равно 204.
• Если k = 6, то x = 240 + r. Максимальное значение x равно 244.
• Если k = 7, то x = 280 + r. Максимальное значение x равно 284.
• Если k = 8, то x = 320 + r. Максимальное значение x равно 324.
• Если k = 9, то x = 360 + r. Максимальное значение x равно 364.
• Если k = 10, то x = 400 + r. Максимальное значение x равно 404.
• Если k = 11, то x = 440 + r. Максимальное значение x равно 444.
• Если k = 12, то x = 480 + r. Максимальное значение x равно 484.

Теперь нужно проверить, чтобы первая справа цифра была средним арифметическим двух других.

• 424: (4 + 4) / 2 = 4. Подходит!

Ответ: 424