Найдите углы параллелограмма ABCD.

Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить свойства углов и диагоналей параллелограмма. 1) Дано: \(\angle B - \angle A = 30^\circ\). В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. То есть \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Решим систему уравнений: $$\begin{cases} \angle B - \angle A = 30^\circ \\ \angle A + \angle B = 180^\circ \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$2 \angle B = 210^\circ$$ $$\angle B = 105^\circ$$ Тогда \(\angle A = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\). Значит, \(\angle C = \angle A = 75^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 105^\circ\). 2) Дано: \(\angle A : \angle B = 1:3\). Пусть \(\angle A = x\), тогда \(\angle B = 3x\). Так как \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то $$x + 3x = 180^\circ$$ $$4x = 180^\circ$$ $$x = 45^\circ$$ Значит, \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ\). Тогда \(\angle C = \angle A = 45^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 135^\circ\). 3) Дано: \(\angle A = 90^\circ\). В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°. Значит, \(\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Противоположные углы равны, следовательно, \(\angle C = 90^\circ\) и \(\angle D = 90^\circ\). В данном случае, это прямоугольник. 4) Дано: \(AO = BO = CO = DO\). В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Здесь дано, что не только половины диагоналей равны между собой, но и все четыре отрезка, образованные диагоналями, равны. Это значит, что диагонали параллелограмма равны. Параллелограмм с равными диагоналями — это прямоугольник. 5) Дано: \(AB = AD\), \(\angle OAB = 30^\circ\). Так как AB=AD, то это ромб. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Значит, \(\angle DAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Так как это ромб, то \(\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Тогда \(\angle C = \angle A = 60^\circ\) и \(\angle D = \angle B = 120^\circ\). Так как все стороны равны и один из углов 60 градусов, то это ромб, который состоит из двух равносторонних треугольников.