Найдите углы равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, если угол CEB = 118°, где E - точка пересечения высот CF и BD.

Дано: Треугольник ABC - равнобедренный, AC - основание, CF и BD - высоты, E - точка пересечения высот, ∠CEB = 118°.

Найти: ∠ABC

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ΔBEC. ∠CEB = 118°. Углы ∠EBC и ∠ECB равны, так как треугольник ABC равнобедренный, а высоты CF и BD опущены на равные стороны.

2. Найдем сумму углов ∠EBC и ∠ECB. Сумма углов треугольника равна 180°, значит:

$$ ∠EBC + ∠ECB = 180° - ∠CEB = 180° - 118° = 62° $$

3. Поскольку углы ∠EBC и ∠ECB равны, то каждый из них равен:

$$ ∠EBC = ∠ECB = \frac{62°}{2} = 31° $$

4. Так как BD и CF - высоты, то углы ∠BDA и ∠CFA - прямые (90°). Угол ∠ABC – это угол ∠ABD + ∠EBC. Аналогично, угол ∠ACB = ∠ACF + ∠ECB.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABD. ∠BAD = 90° - ∠ABD. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, ∠BAC = ∠BCA.

6. Угол ∠ABC равен углу ∠ACB, как углы при основании равнобедренного треугольника. Значит, ∠ABC = 90° - 31° = 59°.

7. Найдем угол ∠BAC и ∠BCA.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

$$ ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180° $$

Так как ∠BAC = ∠BCA, то

$$ 2 * ∠BAC = 180° - ∠ABC = 180° - 59° = 121° $$ $$ ∠BAC = ∠BCA = \frac{121°}{2} = 60.5° $$

Ответ: ∠ABC = 59°, ∠BAC = 60.5°, ∠BCA = 60.5°