Найдите угол \( \angle AСО \), если его сторона CA касается окружности, O – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 115°.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Определим основные понятия:** * Угол, образованный касательной и хордой, равен половине дуги, заключённой между ними. В нашем случае угол \( \angle CAD \) равен половине дуги AD. * Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Значит, \( \angle AOD = 115^{\circ} \). 2. **Найдём \( \angle CAO \).** * Поскольку CA - касательная к окружности, то радиус OA, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle CAO = 90^{\circ} \). 3. **Рассмотрим треугольник \( \triangle ACO \).** * Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, \( \angle ACO + \angle CAO + \angle AOC = 180^{\circ} \). 4. **Найдём \( \angle AOC \).** * Угол \( \angle AOC \) является центральным углом и опирается на дугу AC. Чтобы найти этот угол, нужно учесть, что угол \( \angle AOD = 115^{\circ} \) и \( \angle COD = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \), если D лежит на прямой CO. Однако, нам не дано точное расположение точки D, поэтому нам нужно найти другой способ найти угол \( \angle AOC \). * Рассмотрим четырёхугольник \( \square CAOD \). Сумма углов в нем равна 360°. Тогда: \( \angle CAO + \angle AOD + \angle ODC + \angle DCA = 360^{\circ} \). * Мы знаем, что \( \angle CAO = 90^{\circ} \) и \( \angle AOD = 115^{\circ} \). Пусть \( \angle ACO = x \). Тогда \( \angle DCA = 1/2 cdot дуга AD = 1/2 cdot 115^{\circ} = 57.5^{\circ} \). Остаётся \( \angle ODC \). * Заметим, что треугольник \( \triangle AOC \) - это треугольник, у которого сторона CA касается окружности в точке A. И, как мы уже выяснили, \( \angle CAO = 90^{\circ} \). * Из \( \triangle CAO \) можно сказать, что \( \angle ACO = x \), а \( \angle AOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - x \). * Если \( \angle AOD = 115^{\circ} \), то нужно найти, как связана дуга AD с углом \( \angle ACO \). 5. **Решение, основанное на других геометрических соотношениях**: * Пусть E - точка на окружности такая, что AE - диаметр окружности. Тогда \( \angle ACE = 90^{\circ} \) как угол, опирающийся на диаметр. * Если дуга AD = 115°, то центральный угол \( \angle AOD = 115^{\circ} \). Тогда вписанный угол \( \angle AED = 115^{\circ}/2 = 57.5^{\circ} \). * Пусть угол \( \angle ACO = x \). Тогда \( \angle AOC = 180 - 90 - x = 90 - x \). * Поскольку \( \angle AOC \) является центральным, он равен дуге AC, т.е., \( дуга AC = 90 - x \). * С другой стороны, вся окружность составляет 360°, следовательно, дуга AD + дуга DC + дуга AC = 360°, т.е., 115 + дуга DC + (90 - x) = 360°. 6. **Находим угол ACO:** Рассмотрим случай, когда точка D лежит на продолжении CO за точку O. В этом случае угол \( \angle AOC \) смежный с углом \( \angle AOD \), и их сумма равна 180°. Тогда \( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \). Теперь, зная \( \angle AOC \) и \( \angle CAO \), можем найти \( \angle ACO \): \( \angle ACO = 180^{\circ} - \angle CAO - \angle AOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \). **Ответ:** Угол \( \angle ACO = 25^{\circ} \).