Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O – центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 123°.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **Дано:** * Окружность с центром в точке O. * CA - касательная к окружности. * Дуга AD = 123°. **Найти:** Угол ACO. **Решение:** 1. Так как CA - касательная к окружности, то угол между касательной CA и радиусом OA, проведенным в точку касания A, равен 90°. То есть, \(\angle OAC = 90^\circ\). 2. Центральный угол AOD опирается на дугу AD, поэтому \(\angle AOD = \text{дуга } AD = 123^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник \(\triangle AOC\). В этом треугольнике мы знаем угол \(\angle OAC = 90^\circ\). Чтобы найти угол \(\angle AOC\), нам нужно рассмотреть другой треугольник – \(\triangle AOD\). 4. В треугольнике \(\triangle AOD\), OA и OD - радиусы окружности, следовательно, \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Значит, углы при основании равны: \(\angle OAD = \angle ODA\). 5. Сумма углов в треугольнике \(\triangle AOD\) равна 180°, поэтому: \(\angle OAD + \angle ODA + \angle AOD = 180^\circ\) Так как \(\angle OAD = \angle ODA\), то: \(2 \cdot \angle OAD + 123^\circ = 180^\circ\) \(2 \cdot \angle OAD = 180^\circ - 123^\circ\) \(2 \cdot \angle OAD = 57^\circ\) \(\angle OAD = \frac{57^\circ}{2} = 28.5^\circ\) 6. Теперь рассмотрим угол \(\angle CAD\). Он равен разности углов \(\angle OAC\) и \(\angle OAD\): \(\angle CAD = \angle OAC - \angle OAD = 90^\circ - 28.5^\circ = 61.5^\circ\) 7. Заметим, что угол \(\angle AOC\) является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Однако нам нужно найти этот угол, чтобы найти угол \(\angle ACO\). 8. В треугольнике \(\triangle AOC\) известны два угла: \(\angle OAC = 90^\circ\). Нам нужно найти \(\angle AOC\). Давайте вернемся к центральному углу, опирающемуся на дугу AD, который равен 123°. Заметим, что \(\angle AOC = 180 - \angle AOD = 180 - 123 = 57^\circ\) (внешний угол) 9. Сумма углов в треугольнике \(\triangle AOC\) равна 180°: \(\angle OAC + \angle AOC + \angle ACO = 180^\circ\) 10. Подставим известные значения: \(90^\circ + 57^\circ + \angle ACO = 180^\circ\) 11. Решим уравнение относительно \(\angle ACO\): \(\angle ACO = 180^\circ - 90^\circ - 57^\circ\) \(\angle ACO = 33^\circ\) **Ответ: Угол ACO равен 33°.**