Найдите угол \(\angle A\) в окружности с центром в точке O, если \(\angle C = 40^{\circ}\).

Давайте решим эту задачу вместе! Нам нужно найти угол \(\angle A\) в окружности, где дан угол \(\angle C = 40^{\circ}\). 1. Теория: Угол, опирающийся на дугу окружности, называется вписанным углом. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 2. Применим теорию: В нашем случае угол \(\angle C\) является вписанным углом, опирающимся на дугу \(AD\). Центральный угол, опирающийся на дугу \(AD\), это угол \(\angle AOD\). Значит, \[\angle AOD = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\] 3. Рассмотрим четырёхугольник (AOBD): Так как четырехугольник (AOBD) вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180 градусам. То есть, \[\angle AOD + \angle ABD = 180^{\circ}\] 4. Выразим угол (ABD): \[\angle ABD = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\] 5. Угол (A) и угол (ABD): Угол (A) опирается на ту же дугу, что и угол (D), и так как у нас углы (A) и (D) вписанные, то мы можем утверждать, что \[ \angle A = \angle D\] 6. Найдем угол A, зная угол ABD: Пусть \(\angle A = x\). Тогда, \[ \angle A = \frac{1}{2} \cdot \angle AOD\] \[ \angle A = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ}\] 7. Итоговый ответ: \(\angle A = 40^{\circ}\) Ответ: \(\angle A = 40^{\circ}\)