Решение:

Пусть ∠BAO = x, тогда ∠BOA = 2x. Так как треугольник ABO равнобедренный, ∠ABO = ∠BAO = x.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому в треугольнике ABO:

$$∠BAO + ∠ABO + ∠BOA = 180°$$ $$x + x + 2x = 180°$$ $$4x = 180°$$ $$x = 45°$$

Следовательно, ∠BAO = ∠ABO = 45° и ∠BOA = 2 * 45° = 90°.

Так как ∠BOA и ∠DOC - вертикальные, то ∠DOC = ∠BOA = 90°.

По условию, ∠A = ∠D = 45°.

Сумма углов в четырехугольнике ABCD равна 360°.

$$∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°$$

Из рисунка видно, что угол B равен углу ABO.

$$∠B = ∠ABO = 45°$$

Подставим известные значения в уравнение для суммы углов четырехугольника:

$$45° + 45° + ∠C + 45° = 360°$$ $$135° + ∠C = 360°$$ $$∠C = 360° - 135°$$ $$∠C = 225°$$

Т.к. угол С не может быть больше 180 градусов, значит угол B, равен сумме углов ABO и CBD. То есть угол B состоит из углов ABO и CBD.

$$∠B = ∠ABO + ∠CBD$$

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

$$∠C + ∠D + ∠CDO = 180°$$

$$∠C + 45° + 90° = 180°$$

$$∠C + 135° = 180°$$

$$∠C = 45°$$

Ответ: ∠C = 45°